麻将番值计分体系的演化（上）——累乘制

麻将的番值计分体系（或者说算番体系）指的是，麻将的各个番种按照什么规则赋分，以及当和种中包括多个番种时，如何从每个番种分值计算手牌总的分值。简单的说，就是回答每把牌值多少分的规则，所以我们可以将麻将番值计分体系简称为计分法。

在牌型总分值确定后，至于赢家输家分别得失多少，自摸放铳有没有额外加成，则是属于授受法的范畴。计分法与授受法是麻将结算分数中两个独立的步骤，前者根据牌型给出牌的大小（分值），后者基于牌的分值，并根据自摸放铳情况，规定赢家输家分别的得失分数。（授受法见比较和总结各种麻将得分授受法）

（在中庸麻雀史观中，有专门一章（第二十一章 算术论）讨论计分法，其中的一些内容在此有所讨论，另外本贴试图从其他方面讨论这一话题。）

古典麻将时期的计分法是 总副点x番数。总副点是分项副点的加和，分项副点主要包括手牌中不同种类的刻和杠，以及和牌方式等等。番数也就是翻数，是将副点翻倍的次数，是x2的次数。一番是2倍，二番是4倍，三番是8倍，以此类推，n番就是2的n次方倍。古典麻将是以副点为核心的，最初的番种只有几种，包括番牌（三元刻门风刻）1番，混一色1番，清一色3番，也就是番牌或者混一色乘2倍，清一色乘8倍。如果包括多个番种，就进行累乘，比如番牌混一色就2x2=4倍，或者2^(1+1) = 4倍，也就是番数求和后再取2的指数。总之，古典麻将计分法是 (副点和) x 2^(番数和)。

到了古典麻将后期，去掉了副点（或者说固定了副点数为一个指定的底分），计分直接变成了 底分x 2^(番数和)。此时的计分法完全依赖于番种，于是麻将规则中增加了很多新的番种，比如边坎钓1番，平和1番，自摸1番，门清1番，将混一色与对对和提高到2番，清一色5番，（后来三三制中混一色与对对和增加到3番，清一色7番）。这种计分法可以称为番数累乘制。

累乘制规则简单易于计算，很适用于番种数量少的麻将规则。当前国内很多地方麻将就采用累乘制，比如受众很广的四川血战到底麻将，国际麻将联盟采用的血战规则只有9个番，根、海底、杠开、抢杠、杠炮、大对子（对对和）、金钩钓都是1番，清一色、七对都是2番。民间的规则也只增加了断幺、全带幺、龙七对等少数几个番，很适合采用累乘制。

累乘制的先天缺陷

当番种取代了副点成为度量麻将和牌大小的标准后，番种的番数大小以及配套的番数累乘法就应该体现牌型的美感和难度。然而实践证明，累乘法有很多先天缺陷。

首先，累乘的每个级别都是是相差2倍，因此分数都是2的指数，1、2、4、8、16，等等。而老章和新章创造了上百种番种，这些番种的难度肯定不会彼此都相差2倍，因此累乘制下的番种赋值必然比较粗糙。

其次，累乘制分数按照2的指数增长，很容易达到分数爆炸。事实上，旧章最高番种比如大四喜、天和都是最高番值13番，换成分数为2^13=8192。这背后没有经过什么数学计算，主要是对于用于赌博的赋分体系，接近10000倍也已经是极限了。

第三，也是最重要的，累乘制指数发散式的计分方式，会使得复合番种的牌型的分数严重高估，造成大量偏僻和滥赏。因为累乘制的最小单位就是1番，所以边坎钓、平和这样最简单的番种奖励也是1番。而这些番种又可以与门清、自摸、混一色、对对和、以及新章创新引入的新的番种复合，很容易就达到非常高的番数，严重超过牌型本身的难度，因而造成偏僻和滥赏。可以将这种情况称为累乘制下的复合高番滥赏，也就是给与了复合高番过高的分数。

（中庸谈及此处，将问题规矩于每“一番”的实际分值不固定，视乎手牌另外有多少番而波动，这其实是相同的意思，就是在很多种番种复合时累乘值计分容易造成过高或过低的波动，引发偏僻和滥赏）

复合高番滥赏

累乘制将每个番种的分数相乘作为总分数，是基于一个基本假设，即各个番种彼此独立，彼此没有相关性，而这个假设是错误的。麻将的基本和牌型是四副一对，不同的番种从不同程度上限制了2副、3副甚至全部牌张的取值范围，这些番种之间是有相关性的。从数学上表示，AB两个番种，我们用概率来近似番种的难度，P(A) 是番种A的概率，P(A|B)是给定番种B时番种A的概率。如果AB是独立事件，则P(A) 应该等于P(A|B)。

比如A是对对和，B是混一色。在混一色的情况下只包含一个花色和7种字牌，字牌只能形成刻子和对子，所以混一色下对对和的可能性远远大于包括全部牌张时的对对和。反之也类似，在对对和下混一色的可能性也更大。因此A和B两番种不是独立的，P(A) < P(A|B)。假设A和B的番数（分数）反应了各自单独出现的难度，则将AB分数相乘则严重超过了两者共同出现的难度，这就是复合高番滥赏。

当麻将规则中日益增加番种时，尤其是平和、边坎吊、自摸这样1番的小番时，累乘制下就非常容易出现复合高番。一方面造成滥赏，另一方面番种相互组合的可能性过于复杂，使得同等番数的牌难度方差相差极大，麻将计分规则的合理性大大降低。

累乘制的改进

为了应对分值随指数发散式的增长这一问题， 自古典麻将就出现了满贯制，即规定一个分数上限，任何牌型组合后也不能超过这一分值（最初是200分）。同时直接规定一些番型比如大四喜、字一色等为满贯。这就是单一满贯制，适合简单的番种体系。

随着麻将规则的演变，去掉了副底并增加了很多番种，这便导致了包含多个番种复合的牌型，单一满贯就无法应对这种复杂情况。具体来说，如果将满贯番数定得过低，比如三三制中定为6番，那么清一色对对和（总和10番）这样的复合番就没有得到合理奖励（与单独的清一色相同）；另一方面，如果满贯番数定得过高（或者不设满贯），那分值随指数增长使得复合大牌分数过高。于是，旧章和日本麻将都发展出了复合满贯制，也就是“勒”的制度。简单来说，就是规定在设定满贯番数（4番或5番）之上，不再每一番就翻一倍，而是增加2番（或更多番）再翻一倍。

下表对比了无满贯的累乘制，旧章，和日麻的复合满贯制的计分表，其中旧章分数是根据中庸麻雀史观第七章的例子进行引申，日麻分数采用庄家自摸时闲家失分点数。

由于采用复式满贯的计分法，在满贯（5番）之上，明显分数的增长减缓了，旧章最高的13番，分数只是5番分值的4倍。旧章和日麻计分法在基本的原则上相同，只是具体计算细节上不同，比如日麻多了跳满这一乘以1.5倍的等级。

复式满贯的实质就是，在规定的满贯番值之下，每番分值x2；在满贯番值之上，则需增加几个番值才分值x2。在具体计算时，先将牌型包含的各个番种的番值求和，然后不是直接求2的指数，而是根据计分表查找对应分数，是累乘制的一种变种。

复式满贯虽然在一定程度上缓解了累乘制指数计分发散增长的问题，但并不完美。最显而易见的问题是，在满贯之上几个不同番值都对应相同分数，为什么6番牌明明比5番多1番，分数却相同。但更本质的问题，即番种复合下分值的合理评估问题（上述累乘制的第三点缺陷）还是没有解决。复合满贯没法消除复合高番滥赏，只是降低了指数发散的速度。