自摸、计分法与授受法

以下两篇文章讨论了麻将番值计分逐渐演化的过程和依据：

以下三篇文章介绍了麻将的不同授受法：

在分析过程中，笔者对于自摸这个麻将的重要元素有了新的重要认识，在这里展开一下这个话题。

计分法与授受法

首先，需要明确一下麻将的计分和授受这两个概念的含义。麻将的番值计分体系（或者说算番体系）指的是，麻将的各个番种按照什么规则赋分，以及当和种中包括多个番种时，如何从每个番种分值计算手牌总的分值。简单的说，就是回答每把牌值多少分的规则，所以我们可以将麻将番值计分体系简称为计分法。每种规则都有自己或长或短的番种表，其中对应的就是该规则的计分法。

在牌型总分值确定后，至于赢家输家分别得失多少分，自摸放铳有没有额外加成，庄家等其他因素的影响，则是属于授受法的范畴。

计分与授受是麻将分数结算过程中两个相互关联、经常同时出现、但有先后顺序的步骤。在和牌后首先根据牌型番种用计分法得出和牌的大小（分值）；然后基于牌的分值，并根据自摸放铳情况，用授受法的规定得出四家，包括和方、铳方和非铳方，分别的得失分数。

国标麻将的81个番种，五大算分原则，就是国标计分制的内容，而8分底分，自摸番三则是国标授受制的内容。同理，日麻的39个番种，符数和番数结合的计分体系尽管非常复杂，仍然首先计算出一个基本点，即闲家自摸时其他闲家应付的点数。在基本点的基础上，根据庄闲和自摸放铳情况，计算出各非和家需缴付的分数（进位到百位）。日麻采用全铳制的授受，各非和家需缴付的分数的数值可能为基本点的1、2、4、6倍，而和家得分是非和家付分之和。

自摸赋分的沿革

自摸就是和牌的最后一张是自己摸牌得到的，如果和牌张是其他三家的弃牌就是点和（或者铳和）。自摸作为一种有一定概率的和牌方式，从最初的麻将规则中就有所体现。而自摸怎样赋分，在麻将规则发展过程中是在不断变化之中的。

首先，自摸体现在麻将计分法之中。在古典麻将中，自摸与边坎吊等一样都给2副（加2副），到后来的规则中普遍的将自摸作为一个单独的番种给与1番（乘2倍）。无论是加法还是乘法，自摸都被看成一个普通番种，其分值与其他番种可以组合，计算出整个牌型的分数

其次，自摸的价值也不仅仅体现在自摸这个番种的番值，麻将授受法中也隐含着对自摸的加成。最明显的是在出铳幺二制中，自摸时三家每家付2倍基本分总共6倍，点和时出铳者2倍其他两家各1倍总共4倍基本分。因此采用出铳幺二授受法相当于自摸比点和多0.5倍，是一种隐含的对自摸的付分。

最后，自摸在计分法和授受法两个步骤中的赋分可能被累积起来。还是在出铳幺二制中，自摸本身有1番（2倍），再加上授受制实际上的1.5倍，自摸的得分等于3倍点和。这也是自摸番三最初的来源。现今国内各个地方麻将规则，绝大多数是自摸三家付，放铳只由铳方一家付，这不仅是另一种形式的自摸番三，而且是单独由授受制导致的番三。如果规则在计分法中再包含自摸的1番，则实际结果变成了自摸番六，导致了很多地方麻将博自摸的倾向。

日本立直麻将采用庄家幺二的全铳制，授受法本身对自摸没有额外加成，但是在计分法中保留了门前清自摸1番的设定（非门清自摸只有2副）。由于日麻几乎一半的和牌是门清，所以平均来讲，在日麻中自摸的收益也相当于点和的1.5倍。

国标麻将中自摸也是被双重赋分的，虽然番种表中自摸只有1分，几乎可以忽略。其授受法为底分8分+自摸番三。在 国标“自摸番三”的实质是什么？ 中的分析显示，国标中自摸的收益率在占得分92%的和牌中（8分到20分）为1.5~2.0之间。

体现在计分法和授受法中的自摸

下表列出了不同麻将规则中，自摸在计分法和授受法中分别赋分情况

规则	计分法	授受制	综合结果
全分付、中庸	—	—	0
古典	2符	—	+2
广东新章、K神	2分	—	+2
日麻全铳	门清自摸1番	—	< ×1.5
四海	—	×1.5	×1.5
国标	1分	×1.5–2	×1.5–2
广东老章、香港半铳、香港全铳	1番	×1.5	×3
地方麻将番三	—	×3	×3
地方麻将番六	1番	×3	×6

可以看出，自摸在计分法中可能采用累加法或者累乘法，在授受法部分的赋分都是乘以一个倍数（基于表中所列的授受制）。自摸在部分规则中被双重赋分了，但计分法与授受法中自摸的赋分不相互冲突，而且独立计算，并综合得出自摸最终的效果。

那么一个直接问题就是，自摸的作用应该放在计分法中，授受法中，还是应该双重赋分？

需要特别指出的是，在计分法（或者番种表）中列出的所有麻将番种中，只有自摸可以在授受法中有作用，其他番种只是在计算出和牌分数后就完成使命了。（在包含庄家的日麻规则中，庄家也是体现在授受法中的，但日麻的庄家并不是一个番种，不在番种表中）。假设一个和牌为100分，那么无论100分是由多个番种累乘得出，还是多个番种累积得出，按照授受法结算得失分时都不需要考虑包含的番种了。因此，自摸是一个与其他番种完全不同的的麻将番种，或者说一种独特的麻将机制。

自摸占和牌的1/4

自摸有收益这一从麻将创始时就存在的传统，在关兆豪的中庸麻雀史观中首次得到质疑，并且自摸番三被称为“自摸滥赏”。根据史观的说法，

自摸理論上自摸的比率為四分之一（實際上對手會扣起危險牌，所以高手對局時自摸的比率往往更高）。但自摸番三違反了造牌麻雀的原則（同一手牌，沒理由說因為自摸就變得有三倍的「美感」）。而且以偶然類和種來說，有四分之一機會的和種完全不值得收三倍，連一倍半也不值得。

本贴先不去讨论中庸的观点，而是首先讨论一下自摸的难度。

一个关于自摸确定无疑的事实是，自摸的概率大约是全部和牌的1/4，是点和的1/3。这也很好理解，4个人打牌，每张牌都有1/4概率被四人中的一人摸到。某国标麻将平台的统计（此图只显示了部分番种）也证实了这一点，除了那些必定自摸或者点和的番种，其他所有番种无论分值高低，和牌中自摸占比都在1/3到1/4之间。同时，只要是四人麻将，自摸的这种比例并不随计分法是否为累乘法还是累积法而改变。

某国标平台各番种的铳和与自摸次数

自摸与番种表中其他番种相互独立

前面两个贴子提到，麻将计分体系从累乘制变到累加制，最重要的原因是累加制能够更好的应对麻将各个番种之间的复合问题。麻将的番值之间彼此并不完全独立，有一定的相关性。从数学角度解释，用概率来近似AB两个番种的难度，P(A) 是番种A的概率，P(A|B)是给定番种B时番种A的概率。如果AB是相互独立的，则P(A) 应该等于P(A|B)。麻将的番值之间不满足这个判断，所以如果用累乘法将各个番种的番值相乘则高估了复合牌型的分数。

然而上图显示，自摸对于几乎每个番种都占1/4。也就是说，如果将自摸作为一个番种A，P(A) = 1/4，而且对于麻将的几乎所有番种B，P(A|B)都约等于1/4。这就说明了，如果将自摸作为一个番种，那么自摸与所有其他番种都是相互独立的。

如果计分法是累乘制，那么可以将自摸放在计分法中当作一个番种，比如说1番，其番值是可以采用累乘法与其他番种的分值相复合的，累乘后的总分能正确反应自摸该番种的难度。比如日麻，门清自摸为1番。

但如果计分法是累加制，自摸因其与其他番种相互独立的特性，无论给予什么分数都不合适。假设在国标体系下设定自摸10分，那么对于60分的大牌，则10分是低估了自摸的分数，而对于8分的小牌，则10分是高估了自摸的分数。那么累加制中，与任何番种独立的自摸的分数，不能放在番种表（计分法）中，而应体现在授受法的乘法关系中。事实上，国标中自摸1分，相对于没有分数，国标中的自摸只体现在底分+自摸番三中。

自摸在累加计分体系中的分数

既然要在使用累加计分体系的麻将规则中，用授受法反应自摸的分数，那么就需要根据自摸的难度来确定自摸对应的倍数，或者说番数了。虽然授受法与计分法相互独立，但两者相乘得到最终的分值，因此自摸在授受中的番数也应该与累加制中番种直接难度与分值的关系相一致，否则也会导致对自摸的错误评分。根据 麻将番值计分体系的演化（下）——累加制，番种在累加制中的赋分遵循”番种的难度提高到10倍时，番种的分数提高1倍”，也就是公式 log₂ F = log₁₀ N，其中 F 为分数，N 为难度。将这个公式变换一下形式，就得到了番种分数与难度实际上是一个以分数为底以 lg2 为指数的幂函数关系，即 F = N^(log₁₀ 2)，约等于 F = N^0.301。这个公式不仅适用于绝对难度/分数，也适用于相对难度/分数。

自摸的概率是1/4，就相对于自摸的难度为4倍。根据上面的公式，难度为4倍，对应着分数4^(0.301) = 1.518，约等于 1.5。换句话说，与上述累加制计分体系相适应中，自摸在授受法中体现的番数（或者说收益率）应为1.5倍，对任何牌型的总分乘以1.5就是自摸该牌型的分数。假设一条龙40分，清一色60分，那么自摸一条龙40*1.5=60，与铳和清一色分值一致，对应了他们和牌的难度相当，这是符合我们普遍认知的。

自摸与出铳幺二制

上述计算出来的自摸为1.5这个倍数，让人想到在出铳幺二制中隐含的自摸也是1.5倍。这应该是一个巧妙的偶然。因为上面计算自摸分数，是限定了用于番种分数与难度呈以 lg2 为指数的幂函数关系的计分体系。这个计分体系适用于应对具有众多番种的麻将体系中的番种赋分问题已经番种复合难题。这个体系中难度增加到10倍分数提升到2倍，所以不难理解对于自摸这样4倍难度所对应的是1.5倍的分数。如果采用分数与难度正比或者其他关系的体系，自摸就应该不同于1.5倍。

在 造牌麻将合理的得分授受法 中，讨论自摸的分数时只是从逻辑上说“自摸最后一张牌的价值极大，给与1.5倍到2倍的分数合情合理”，但是缺乏说服力。这里得出的自摸收益为1.5倍这个奇妙的巧合，恰好可以用来支持前面贴子的论述。

综上所述，在累加计分体系中，自摸的作用应该体现在授受法，而不是计分法中，因此自摸不是一个番种。自摸的收益率为1.5倍，这个自摸收益正好可以使用授受法中的出铳幺二制来实现。这就将自摸与累加制和授受法联系起来，形成一个完整的规则体系。当然，严格的论证这种关系还需要接下来更加细致的分析。